Barisan dan Deret Bilangan (Rumus, Soal, Pembahasan)

 on Minggu, 27 Desember 2015  

Assalamu'alaikum Wr. Wb. Selamat datang di blog Artikel & Materi . Senang sekali rasanya kali ini dapat kami bagikan materi pelajaran matematika : Barisan Bilangan dan Deret Bilangan (Pengertian, Rumus dan contoh soal beserta pembahasannya). Silakan disimak selengkapnya..

Pengertian Barisan Bilangan
 
Barisan bilangan adalah urutan suatu bilangan yang mempunyai aturan tertentu.

Contoh Barisan bilangan :
      1)       2,      6 ,      10,    14,…
Aturan pembentukannya adalah “ ditambah 4”
Dua suku berikunya adalah  18 dan 22.
      2)      1,     2,      5,     10,…
Aturan pembentukannya adalah “ ditambah bilangan ganjil berurutan “
Dua suku berikutnya adalah 17 dan 26
      3)      2,   6,  18,  54, ….
Aturan pembentukannya adalah “dikalikan 3”
Dua suku berikutnya adalah 162 dan 486
      4)     96,    48,    24,   12, …
Aturan pembebtukannya adalah “ dibagi 2”
Dua suku berikutnya adalah 6 dan 3
      5)     1,   1,   2,   3,   5, 
Aturan pembentukannya adalah “ suku berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan dua suku di depannya “. Dua suku berikutnya adalah (3+5)=8 dan (5+8) = 13. Barisan bilangan 1,1,2,3,5,8,,…… disebut barisan Fibonacci

Macam-macam barisan bilangan :

1.  Barisan dan Deret Aritmetika

a. Barisan Aritmetika

Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang mempunyai beda (selisih) yang sama/tetap.

Suku-sukunya dinyatakan dengan rumus :

U1, U2, U3, ….Un
a, a+ b, a+2b, a + 3b, …., a + (n-1) b

Selisih (beda) dinyatakan dengan b
b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1

Suku ke n barisan aritmetika (Un) dinyatakan dengan rumus:
Un = a + (n-1) b

Keterangan:

Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …
a = suku pertama →U1 = a
b = selisih/beda

Contoh soal :

1. Tentukan suku ke 15 barisan 2, 6, 10,14,…

Jawab:

n = 15
b = 6-2 = 10 – 6 = 4
U1 = a = 2

Un = a + (n-1) b
U15 = 2 + (15-1)4
= 2 + 14.4
= 2 + 56 = 58

b. Deret Aritmetika

Deret Aritmetika adalah jumlah suku-suku pada barisan aritmetika.

Bentuk umum deret aritmetika:

a + (a + b) + (a+2b) + (a+3b) + …+ (a+(n-1)b )

Jumlah suku sampai suku ke n pada barisan aritmetika dirumuskan dengan:

Sn = (2a + (n-1) b ) atau Sn = ( a + Un )

Contoh soal Deret Aritmetika :

Suatu deret aritmetika 5, 15, 25, 35, …
Berapa jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika tersebut?

Jawab:

n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10

Sn = (2a + (n-1) b )
S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 . 100 = 500

2.      Barisan dan Deret Geometri

a. Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa perkalian yang mempunyai rasio yang sama/tetap.

Suku-sukunya dinyatakan dengan:

U1, U2, U3, ….Un

a, ar, ar2, ar3, …., arn – 1

Rasio dinyatakan dengan r :

r = Un/Un-1

Suku ke n barisan Geometri (Un) dinyatakan dengan rumus:

Un = a . r n – 1

Keterangan:

Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …
a = suku pertama→U1 = a
r = rasio

Contoh soal Barisan Geometri :

Suku ke 10 dari barisan 2, 4, 8, 16, 32, … adalah….

Jawab:

n = 10
a = 2
r = 2

Un = a . r n – 1
U10 = 2 . 210 – 1
= 2 . 29
= 210 = 1.024

b. Deret Geometri

Deret Geometri adalah jumlah suku-suku pada barisan geometri.

Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan barisan geometri maka U1 + U2 + U3 + ... + Un adalah deret geometri dengan Un = arn–1. Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut.
 
Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama.
 
Sn = U1 + U2 + ... + Un
Sn = a + ar + ... + arn–2 + arn–1 .............................................. (1)
 
Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh :

rSn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arn ................................... (2)
 
Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh :
rSn =
ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arn
Sn =
a +
ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1
-
rSn - Sn =
–a + arn
 (r – 1)Sn = a(rn–1)

 Sn = 

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.
 
Sn =  , untuk r > 1
Sn =  , untuk r < 1
 
Keterangan: 
Sn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
r = rasio
n = banyak suku
 
Apa yang terjadi jika r bernilai 1?
 
Contoh Soal Deret Geometri:
 
Tentukan jumlah dari deret geometri berikut.
a. 2 + 4 + 8 + 16 + ... (8 suku)
b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ... (6 suku)
 
Pembahasan :
 
a. 2 + 4 + 8 + 16 + ...
Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 4/2 = 2 (r > 1).
Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8.
Sn = Barisan dan Deret Bilangan (Rumus, Soal, Pembahasan)  S8 = Barisan dan Deret Bilangan (Rumus, Soal, Pembahasan) = 2(256 – 1) = 510
Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510.
 
b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ...
Dari deret itu, diperoleh a = 12 dan r = Barisan dan Deret Bilangan (Rumus, Soal, Pembahasan) (r < 1).
Jumlah deret sampai 6 suku pertama, berarti n = 6.
Sn = Barisan dan Deret Bilangan (Rumus, Soal, Pembahasan)  S6 = Barisan dan Deret Bilangan (Rumus, Soal, Pembahasan) = 24(1-  ) = Barisan dan Deret Bilangan (Rumus, Soal, Pembahasan)
 
Contoh Soal Geometri :
 
Diketahui deret 3 + 32 + 33 + ... + 3n = 363. Tentukan :
a. suku pertama; 
b. rasio;
c. banyak suku.
 
Penyelesaian :
Deret 3 + 32 + 33 + ... + 3n = 363
a. Suku pertama: a = 3
b. Rasio: r = ... = .... = 3
c. Untuk Sn = 363
 
Karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus :
Sn = Barisan dan Deret Bilangan (Rumus, Soal, Pembahasan)
 363 = Barisan dan Deret Bilangan (Rumus, Soal, Pembahasan)
↔ 726 = 3n+1 – 3
↔ 3n+1 = 729
↔ 3n+1 = 36
 
Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku dari deret tersebut adalah 5.
 
Contoh Soal Geometri :
 
Carilah n terkecil sehingga Sn > 1.000 pada deret geometri 1 + 4 + 16 + 64 + ...
 
Kunci Jawaban :
Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 4 (r > 1) sehingga jumlah n suku pertamanya dapat ditentukan sebagai berikut.
Sn = Barisan dan Deret Bilangan (Rumus, Soal, Pembahasan)
Nilai n yang mengakibatkan Sn > 1.000 adalah :
 > 1.000  4n > 3.001
 
Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh :
log 4n > log 3.001
 n log 4 > log 3.001
 n > Barisan dan Deret Bilangan (Rumus, Soal, Pembahasan)
 n > 5,78 (Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai logaritma)
Jadi, nilai n terkecil agar Sn > 1.000 adalah 6.
 
Baca pula : 
 
Demikian materi pelajaran matematika : Barisan Bilangan dan Deret Bilangan (Pengertian, Rumus dan contoh soal beserta pembahasannya). Semoga bermanfaat...




Barisan dan Deret Bilangan (Rumus, Soal, Pembahasan) 4.5 5 Cah Samin Minggu, 27 Desember 2015 materi pelajaran matematika : Barisan Bilangan dan Deret Bilangan (Pengertian, Rumus dan contoh soal beserta pembahasannya). Assalamu'alaikum Wr. Wb. Selamat datang di blog Artikel & Materi . Senang sekali rasanya kali ini dapat kami bagikan materi pela...


Tidak ada komentar:

Poskan Komentar

Diberdayakan oleh Blogger.